數學界震撼彈！OpenAI 模型成功破解 80 年 Erdős 幾何難題

近 80 年來，數學家一直研究緊一個看似簡單，但實際上極度困難嘅問題：如果喺平面上面放置 $n$ 個點，究竟最多有幾多對點之間嘅距離，可以啱啱好等於 $1$？

呢個就係著名嘅「平面單位距離問題」（Planar Unit Distance Problem），由傳奇數學家 Paul Erdős 喺 1946 年首次提出。作為組合幾何學中最廣為人知嘅謎題之一，Erdős 當年甚至為提供解決方案嘅人設立咗獎金。時至今日，OpenAI 宣佈佢哋嘅內部推理模型成功推翻咗數學界一直以來對呢個問題嘅核心猜想，標誌住人工智能喺數學科研領域邁出歷史性嘅一步。

AI 首次自主解決核心數學難題

一直以來，數學界普遍認為，要喺平面上獲得最多嘅單位距離對，最理想嘅排列方式就係類似「正方形網格」嘅結構。但係 OpenAI 嘅最新一般用途推理模型，成功搵到一個無限嘅例子家族，喺數學上帶來咗多項式級別嘅改進，直接推翻咗呢個長達數十年嘅信念。

呢次突破最引人注目嘅地方，在於證明並非來自一個專門為解答數學問題而訓練嘅狹隘系統，而係來自一個通用嘅推理模型。相關證明已經交由外部頂尖數學家組成嘅團隊進行審查並確認無誤，專家團隊亦同時發表咗一篇隨附論文，詳細解釋呢個論證嘅背景同埋科學價值。

拆解80年謎團：甚麼係 Erdős 單位距離問題？

要理解呢次突破嘅重要性，我哋首先要了解原本嘅問題。假設 $u(n)$ 代表喺平面上 $n$ 個點之中，距離剛好為 $1$ 嘅點對最大可能數量。

• 線性增長： 如果將 $n$ 個點排成一條直線，我哋可以得到 $n-1$ 對單位距離。
• 傳統最佳解（正方形網格）： 過去幾十年，已知最佳嘅構造方法係來自重新縮放嘅正方形網格，可以得出 $n^{1+C/\log\log(n)}$ 嘅對數（其中 $C$ 係常數）。因為當 $n$ 趨向無限大時，指數中嘅附加項會趨向 $0$，所以呢種增長速度只係比線性快少少。

用專業嘅數學術語來講，Erdős 當年猜想上限為 $n^{1+o(1)}$（當中 $o(1)$ 代表隨住 $n$ 增加而趨向 $0$ 嘅數值）。自從 1984 年 Spencer、Szemerédi 同 Trotter 確立咗 $O(n^{4/3})$ 嘅上限之後，呢個數據就幾乎無再被大幅刷新。

AI 嘅新發現： OpenAI 模型嘅新結果證實，對於無限多個 $n$ 值，存在最少 $n^{1+\delta}$ 個單位距離對嘅點配置（其中 $\delta > 0$ 係固定指數）。雖然原本嘅 AI 證明無明確給出 $\delta$ 嘅具體數值，但普林斯頓大學數學系教授 Will Sawin 隨後嘅完善工作中，已經證明可以將 $\delta$ 設定為 $0.014$。呢個結果徹底推翻咗原本 $n^{1+o(1)}$ 嘅猜想。

破局思維：引入代數數論解決幾何問題

呢次 AI 提供嘅解答，最令數學家震驚嘅並唔單止係結果本身，而係得出結果嘅「過程」同「方法」。

一般而言，處理幾何問題通常會用返幾何學或者組合學嘅工具。但係，模型喺建構證明時，出乎意料地引入咗一個名為「代數數論」（Algebraic Number Theory）嘅數學分支概念。

Erdős 最初嘅下限可以透過高斯整數（Gaussian integers，即形式為 $a+bi$ 嘅數字，其中 $a$ 同 $b$ 係整數，$i$係 $-1$ 嘅平方根）來理解。AI 嘅新論證將高斯整數替換為代數數論中更複雜嘅廣義概念，利用具有更豐富對稱性嘅代數數體，創造出更多單位長度嘅差異。

證明過程中運用咗無限類體塔（Infinite class field towers）同 Golod-Shafarevich 理論等深奧工具。對代數數論專家來講，呢啲概念並唔陌生，但將佢哋應用落去歐幾里得平面嘅基本幾何問題，並產生如此巨大嘅作用，絕對係一項極具創意嘅跨學科連結。

測試時間運算（Test-Time Compute）與推理能力嘅關係

根據 OpenAI 提供嘅資料（圖表顯示），模型喺處理呢個 Erdős 問題時嘅準確率（pass@1 accuracy），同「測試時間運算」（Test-time compute）成正比。

圖表呈現咗一條明顯嘅上升曲線：當系統獲分配更多嘅運算資源同時間（以對數尺度 log(test-time-compute) 計算）去處理問題時，其首次嘗試就能成功拆解難題嘅準確率由接近 $0$ 大幅攀升至接近 $0.5$（即 $50\%$）。

呢個數據反映咗現代 AI 推理模型嘅一個重要特質：只要給予足夠嘅時間讓 AI 建立內部嘅思考鏈（Chain of thought），佢哋就能夠維持並處理極度複雜且冗長嘅邏輯論證，而唔係單單靠死記硬背去輸出答案。數學作為一個需要由頭到尾嚴謹推導、無得含糊過關嘅學科，正正係測試呢種深度推理能力嘅最佳試金石。

曾惹質疑？今次獲頂尖數學家一致認可

有留意科技新聞嘅讀者可能記得，大約七個月前，OpenAI 當時嘅副總裁 Kevin Weil 曾經喺社交平台 X 發文，聲稱「GPT-5 搵到咗 10 個之前未解決嘅 Erdős 問題嘅解決方案」。當時呢個言論隨即遭到 Google DeepMind CEO Demis Hassabis 等對手嘲諷，而維護 Erdős 問題網站嘅數學家 Thomas Bloom 亦指出，AI 搵到嘅答案其實早已存在於學術文獻之中，事件最終以 Weil 刪文收場。

但今次嘅情況完全唔同。OpenAI 今次學懂咗謹慎，喺公佈結果嘅同時，附上咗多位頂尖數學家嘅實名認可與深度點評：

• Thomas Bloom 喺聲明中表示：「AI 幫助我哋更全面地探索幾個世紀以來建立嘅數學殿堂；到底仲有幾多未被發現嘅奇蹟等待住我哋？」

This is a really impressive piece of work, and I would accept it for any journal without hesitation. I actually briefly worked on this problem and tried to make a counterexample, but failed to make progress… It is definitely an intimidating construction to see through even if you know what is going on, and even harder to go play for yourself. - Thomas Bloom

• Noga Alon（普林斯頓大學知名組合學家）直言：「呢個結果令人驚訝，證明嘅結構同分析以優雅而巧妙嘅方式應用咗代數數論中相當複雜嘅工具。呢個係一項傑出嘅成就。」

This has been one of Erdős' favorite problems, I have heard him myself mentioning the problem multiple times in his lectures. I believe it would be fair to say that every mathematician working in Combinatorial Geometry thought about this problem, and lots of mathematicians working in other areas spent at least some time thinking about it… The solution of the problem by the internal model of Open AI is, in my opinion, an outstanding achievement, settling a long-standing open problem. The fact that the correct answer is not n1+o(1)n1+o(1) is surprising, and the construction and its analysis apply fairly sophisticated tools from algebraic number theory in an elegant and clever way. - Noga Alon

• Tim Gowers（菲爾茲獎得主）稱之為「AI 數學嘅一個里程碑」。

There is no doubt that the solution to the unit-distance problem is a milestone in AI mathematics: if a human had written the paper and submitted it to the Annals of Mathematics and I had been asked for a quick opinion, I would have recommended acceptance without any hesitation. No previous AI-generated proof has come close to that. - Tim Gowers

• Arul Shankar（頂尖數論學家）認為：「呢篇論文證明咗目前嘅 AI 模型已經超越咗單純嘅人類數學家助手——佢哋有能力產生原創、巧妙嘅想法，並將其落實到底。」

The model’s CoT is deeply interesting. It is noteworthy that a significant majority of the thoughts are trying to construct a counterexample to the widely believed upper bound, rather than trying to prove it. This argues that the model has some combination of good intuition, willingness to try approaches considered long-shot by the community, and a predisposition to attempt constructions.… In my opinion this paper demonstrates that current AI models go beyond just helpers to human mathematicians – they are capable of having original ingenious ideas, and then carrying them out to fruition. - Arul Shankar

總結：開啟人類與 AI 科研協作新時代

呢次 AI 解決 Erdős 單位距離問題，帶出嘅啟示遠遠超越咗數學界本身。佢展示咗先進嘅推理模型已經具備咗成為強大「科研合作夥伴」嘅條件。AI 能夠保持複雜論點嘅連貫性，將遙遠知識領域嘅想法連接起上來，發掘人類專家可能忽略咗嘅潛力路徑。

如果模型可以喺極度嚴謹嘅數學領域通過專家審查，意味住呢種跨學科嘅深度推理能力，同樣可以應用喺生物學、物理學、材料科學、工程同醫學等需要處理複雜數據同長邏輯鏈嘅領域。

不過，呢個科研自動化嘅進程並不代表人類角色會被取代。相反，人類嘅判斷力會變得更加有價值。未來嘅科研模式將會係：AI 負責搜尋、連接、建議同嚴謹驗證；而人類科學家則負責決定邊啲問題最具價值、解讀最終結果，以及為下一步嘅科研方向作出決策。